Potenz

Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren heißt Potenz. Den gemeinsamen Faktor bezeichnet man als Grundzahl oder Basis. Die Anzahl der gemeinsamen Faktoren als Hochzahl oder Exponent.

Der gemeinsame Faktor sei a und die Anzahl der gemeinsamen Faktoren sei n. Das Produkt

a●a●a●...●a = aⁿ heißt n-Potenz von a, gelesen a hoch n.

Beispiele: a⁵ = a●a●a●a●a (gelesen: a hoch 5)

a² = a●a (Quadratzahl)

a³ = a●a●a (Kubikzahl)

a⁴ = a●a●a●a (Biquadratzahl)

a⁵ = a●a●a●a●a (fünfte Potenz von a)

Besondere Potenzen:

Definitionsgemäß ist: a¹= a (Hinweis: es ist a¹= 1● a¹ = 1 ● a. In dem Produkt 1 ● a steht

der Faktor a einmal)

und a⁰ =1 ( Es ist a●a●a●a = a⁴ │ : a (teile beide Seite mit a; a ≠ 0 )

a●a●a●a :a= a●a●a

also ist a⁴: a= a³

a●a●a = a³ │ : a (teile beide Seite mit a ≠ 0)

a●a = a² │ : a (teile beide Seite mit a ≠ 0)

1●a = a¹ │ : a (teile beide Seite mit a ≠ 0)

1●1= 1 = a⁰

Das ist kein Beweis für die Definition a⁰ =1, sondern nur der

Versuch diese Schreibweise anschaulich zu erklären.

1

sowie a^-1 = ─── (1 = a⁰ │ : a (teile beide Seite mit a ≠ 0)

a

Potenzen mit der Zahl 0

0ⁿ = 0●0●0●0●...●0 = 0 (sofern n eine natürliche Zahl ist, d. h. n eine der Zahlen 1,2,3,... ist)

0⁰ ist nicht definiert (dieser Potenz kann kein eindeutiger Zahlenwert zugewiesen werden)

1

0^-1 = ---- ist nicht definiert (Die Division mit 0 ist nicht erlaubt)

0

a⁰ = 1 (definitionsgemäß)

Potenzen mit der Zahl 1

1ⁿ = 1●1●1●1●...●1 = 1 (dabei kann n jede beliebige reelle Zahl sein)

a¹ = a (definitionsgemäß)

Potenzen mit der Zahl 2

Potenzen mit der Zahl 2 heißen auch Quadratzahlen

1²=1 2² = 4 3² = 9 4² = 16 5² = 25 6² = 36 7² = 49 8² = 64 9² = 81 10² = 100

Potenzen mit der Zahl 3

Potenzen mit der Zahl 3 heißen auch Kubikzahlen

1³=1 2³ = 8 3³ = 27 4³ = 64 5³ = 125 6³ = 216 7³ = 343 8³ = 512 9³ = 729 10³ = 1000