Der Wurzelsatz von Vieta

Ein Lösungsverfahren, um quadratische Gleichungen der Form:

x² + px + q =0 lösen, sofern p und q ganzzahlig sind.

Der Wurzelsatz von Vieta gehört in das beliebte und ernst zu nehmende Gebiet der Mathematik, das als „Ratemaltik“ oder „Probiermathematik“ bezeichnet werden könnte. Nein, das ist keine Abwertung, denn es gibt Bereiche der Mathematik, in denen man durch eine Lösungsannahme, die auch falsch sein kann, durch ständige Korrektur zur Lösung kommt oder doch der Lösung sehr nahe kommt. Alle Iterationsverfahren wie das Halbierungsverfahren, Heron, Netwons regula falsi sind Intervallschachtelungsverfahren mit denen sich Lösungen gut annähern lassen, vor allem wenn ein Lösungsalgorithmus nicht bekannt.

Nun zu Vieta: Es seien x=x₀₁ und x=x₀₂ die noch unbekannten Lösungen der Gleichung

x² + px + q =0. Dann entstehen aus x= x₀₁ und x= x₀₂ die zwei Linearfaktoren x – x₀₁ und x – x_02, so dass x² + px + q = (x – x₀₁)( x – x₀₂) = 0

Nach Multiplikation von (x – x₀₁)( x – x₀₂) = x² – x₀₁ x – x₀₂x+ x₀₁x₀₂ und dem Zusammenfassen der Summanden mit x erhält man (x – x₀₁)( x – x₀₂) = x² – (x₀₁+ x₀₂)x+ x₀₁x₀₂= x² +px + q = 0

Im direkten Vergleich erkennt auch der Laie, dass

p=– (x₀₁+ x₀₂) und

q= x₀₁x₀₂

sein muss.

Wenn es also Lösungen der Gleichung x² + px + q = 0 gibt,

dann muss deren Produkt q ergeben und deren Summe das Negative von p.

Beispiel x² + 6x + 8 =0

Da q = x₀₁x₀₂=8 bestimmt man von 8 die Menge aller seiner Teiler:

T(8) ={1,2,4,8} .

Daraus lassen sich die Produkte 8 = 1*8 und Summen 1+8=9

= 2*4 2+4=6

= (–1)*(–8) (–1) + (–8)= – 9

= (–2)*(–4) (–2) + (–4)= – 6

bilden. Nun sucht man sich das Produkt, dessen Faktoren addiert das Negative von p=6 also – 6 ist. Diese Faktoren sind die gesuchten Lösungen. In diesem Beispiel x₀₁= –2 und x₀₂= –4.

Probe (-2)² +6(-2) +8 = 4 -12 + 8 = 0

und (-4) + 6(-4) +8 = 16 -24 + 8 = 0

Als Probe kann der Satz von Vieta auch für jede beliebige quadratische Gleichung eingesetzt werden.

x² + 7 x - 2 = 0; x_1/2= -3,5 ± √(3,5² +2) = -3,5 ± √14,25

x₁= -3,5 +√14,25

x₂= -3,5 -√14,25

x₁+ x₂ = (-3,5 +√14,25) +(-3,5 -√14,25) =-7

x₁* x₂ = (-3,5 +√14,25) *(-3,5 -√14,25) = (-3,5)² - (√14,25)² │3. bin. Formel

= 12,25 – 14,25 = -2

Weitere Beispiele lassen sich einfach bilden:

Wähle zwei beliebige ganz Zahlen x₀₁ = -5 und x₀₂ = -6, dann ist

p= – (x₀₁+ x₀₂) = -[(-5)+(-6)] = 11 und q=x₀₁x₀₂ =(-5)*(-6) = 30 und die Gleichung, die dazu gehört ist x² +11x +30 =0.

Eine solche Aufgabe lässt sich auch gut als Textaufgabe verpacken:

Ein rechteckiges Grundstück grenzt an eine Straße. Die Strecke zur Straße wird durch eine Hecke gebildet. Auf die übrigen Grenzen soll ein Maschendrahtzaun der Länge L = 66 m gesetzt werden. Welche Länge hat die Hecke zur Straße, wenn das Grundstück 540m² groß ist.

Lösung:

Das Grundstück ist rechteckig, damit erhält man wichtige Informationen.

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen des Rechtecks A_Rechteck = ab.

Der Umfang eines Rechtecks ist die Summe der Seiten U=2a+2b.

Eine Recheckseite z.b. a wird durch die Hecke ersetzt, damit ist die Länge des Zauns L=a+2b Daraus ergeben sich die Gleichung

1) ab = 540 m²

2) a+2b = 66 m

Nun kann man die Lösung im Sinne von Vieta suchen.

T(540) ={ 1,2,3,4,5,6,9,10,12,15,18,30,36,45,54,60,90,108,135,180,270,540}

Diese Aufgabe hat nur positive Lösungen also werden die Produkt und Summen gebildet:

540 =1*540 1 + 2*540 = 1081

2*270 2 + 2*270 = 544

3*180 3 + 2*180 = 363

4*135 4 + 2*135 = 274

5*108 5 + 2*108 = 221

6* 90 6 + 2* 90 = 186

9* 60 9 + 2* 60 = 129

10* 54 10 + 2* 54 = 118

12* 45 12 + 2* 45 = 102

15* 36 15 + 2* 36 = 87

18* 30 18 + 2* 30 = 78

20* 27 20 + 2* 27 = 74

27* 20 27 + 2* 20 = 67

30* 18 30 + 2* 18 = 66

36* 15 36 + 2* 15 = 66

45* 12 45 + 2* 12 = 69

54* 10 54 + 2* 10 = 74

60* 9 60 + 2* 9 = 78

90* 6 90 + 2* 6 = 102

108 * 5 108 + 2* 5 = 118

135 * 4 135 + 2* 4 = 143

180 * 3 180 + 2* 3 = 186

270 * 2 270 + 2* 2 = 274

540 * 1 540 + 2* 1 = 542

Ziemlich viel Aufwand. Aber zur Zeit Vietas gab es noch keine Lösungsformel. Man sieht aber, es gibt unter Umständen zwei Lösungen. Diese beiden Lösungen sind bei 66m für a=30m und b=18m oder a= 36 m und b=15 m. Welche der beiden Lösungen in Frage kommt müsste durch eine Zusatzinformation im Aufgabentext festgelegt werden.

Mit der p.q-Lösungsformel oder dem Lösungsverfahren für quadratische Gleichungen lassen sich die Lösungen ohne zu Probieren finden.

Für die Aufgabe bedeutet das, dass das Gleichungssystem

540 = a*b

66 = a+2b gelöst werden sollte.

Löse dazu 66 = a+2b nach a auf : a= 66 -2b und setze diesen Wert in a*b=540 anstelle von a ein (66-2b)*b= 540. Nun wird die Klammer durch Ausmultiplizieren aufgelöst: 66b -2b² =540.

Beide Seiten der Gleichung können duch -2 geteilt werden und man erhält die vereinfachte Gleichung -33b +b² = -270. Auf beiden Seiten der Gleichung wird 270 addiert: 270 -33b +b² =0.

Die linke Seite wird geordnet: b² - 33b +270 = 0.

Nun liegt eine quadratische Gleichung mit der Unbekannten b vor.

b² - 33b + 270 =0 │quadratische Ergänzung

33² - 1089 einfügen

b² -2*16,5b +16,5² - 272,25+270=0 │2. bin Formel anwenden

(b-16,5)²- 2,25 = 0 │3. bin Formel anwenden

(b-16,5+1,5)(b-16,5-1,5) =0 │vereinfachen

(b-15)(b-18) = 0 │Produktsatz

b -15 =0 oder b-18 =0

und man findet die beiden Lösungen b=15 oder b=18

zu b=15 findet man a= 66-2*b = 66-30 = 36 und

zu b=18 findet sich a= 66-2*b = 66-36 = 30 .

Die p,q Lösungsformel liefert die Lösung auch nicht schneller:

p= -33 q=270 und p/2 = -16,5, vielleicht ist Schreibaufwand geringer.

b_1,2 = -p/2 ±√[(p/2)² - q]

= 16,5 ±√[16,5² - 270]

= 16,5 ±√2,25

= 16,5 ±1,5

b₁ = 18

b₂ = 15

Der Wurzelsatz von Vieta hat seine besondere Bedeutung eigentlich nur noch als einfaches Verfahren zur Probe.

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