Faktorisieren eines quadratischen Terms

der Form T(x) = ax² + bx + c                         

mit Hilfe der binomischen Formeln

 Umformen einer Summe mit einem quadratischen Summanden ax² in ein Produkt aus Linearfaktoren 

Die binomischen Formeln liefern eine Methode, mit deren Hilfe eine Summe in ein Produkt und ein Produkt in eine Summe umgeformt werden kann. Da der Term T(x) = ax² + bx + c ein quadratischer Term ist, bieten sich die binomischen Formeln dafür idealer weise gut an. Vergleicht man den Term T(x) jedoch mit der 1. binomischen Formel so findet man mit Ausnahme des Quadrats von x keine Ähnlichkeit mit dieser Formel a² + 2ab + b² = (a + b)²! Wir müssen den Term also an die 1. binomische Formel anpassen. Das beginnt schon bei der unterschiedlichen Verwendung von Buchstaben im Term  und  in  der binomischen Formel. Daher ändern wir  in  der  1. binomischen Formel den Buchstaben a in x um  und  es  wird aus a² + 2ab + b² = (a+b)² ▬▬►   x² + 2xb + b² =(x +b)². Nun ist das b der bin. Formel bei Leibe nicht das b im Term T(x).  Doch das stört erst einmal nicht. Vergleicht mit man nun die binomische Formel mit dem Term kann eine gewisse Ähnlichkeit erkannt werden - wäre nicht a als Faktor von x²! Dieser Faktor muss weg! Einfach weglassen verändert jedoch den Term, was viele Schüler und leider auch Lehrer nicht daran hindert, es trotzdem zu tun! Also braucht man eine mathematische Regel, die eine Umformung des Terms in der gewünschten Weise erlaubt, ohne den Term zu verändern. Die Methode heißt: ausklammern. Wir klammern den Faktor a aus dem Term aus

Leider wird die Ähnlichkeit eher dadurch verschlechtert! Der Faktor a ist nun für die weitere Umformung von geringem Interesse. Deswegen schreiben wir für T(x) = a● t(x) und bezeichnen mit t(x) den Faktor

Das Umbenennen geht nun munter weiter. Auch   bekommt einen neuen Namen üblicherweise p, also p=, und ebenso nennen wir  um

in  = q. Der Term t(x) = x² + x +   hat nun die Gestalt: t(x) = x² + px + q. Selbst mit viel Phantasie kann man hier kaum noch eine binomische Formel erkennen, von den Buchstaben mal ganz abgesehen. Aber Zahlen sind Schall und Rauch und sie lassen sich so darstellen wie man gerade Lust hat! Warum soll nicht 3 auch die Form III (römische Zahlzeichen) haben. Wichtig ist nur zu wissen, was mit der Darstellung gemeint ist, so wie das Wort „Wort“ eine Ansammlung von Buchstaben bezeichnet. Also kann die Anpassung weiter geführt werden! Im Term t(x) = x² + px+ q stimmt nun der erste Summand mit der binomischen Formeln x² + 2xb + b² überein. Aber schon der zweite Summand denkt nicht daran. Doch auch hier gibt es eine einfache Umformung: Wir erweitern den Summand px mit 2 zu 2x , und schon sieht  t(x) = x² + 2x  + q der binomischen Formel sehr viel ähnlicher:

Nun fehlt nur noch der Summand b² der bin. Formel. Aber auch hier stellt   die   Mathematik  ein  ideales  Hilfsmittel  zur  Verfügung: Die Zahl Null! Die Null ist eine Zahl mit bemerkenswerten Eigenschaften. Mit so bemerkenswerten Eigenschaften, dass es eine Beleidigung für die NULL ist, einen Menschen als Null zu bezeichnen. Eine dieser Eigenschaften besteht darin, dass sie immer da ist (für welchen Menschen gilt das schon?), auch wenn man sie nicht vermutet oder sieht!  So ist 1=1+0 oder allgemein dargestellt: a= a+0. Also sagen wir unseren Zauberspruch: Null erscheine im Term t(x) und schon ist sie da:

Aber die Null hat noch eine weitere Eigenschaft: Sie kann auch Zahlen hervorzaubern: 0 = 1 – 1 oder wieder allgemein:  0 = a – a! Mit dieser Eigenschaft können wir nun den Summand b² hervorzaubern:

 

Textfeld: Die Hinzufügung von
                                
heisst quadratische Ergänzung!

 

 

                                         

Nun sollte eigentlich jeder die 1. binomische Formel wiedererkennen!

Trotzdem noch einmal mit Klammern und farbiger Unterlegung:

Diese farbig unterlegten Summanden lassen sich mittels der 1. binomischen Formel:  a² + 2ab + b² = (a + b)²   zusammenfassen:

Ohne Hilfe hat t(x) nun die Form   t(x)  =     

Wenn nun die Klammer um   zu einem a ergänzt wird, dann erhält man für t(x) die Darstellung 

Ohne große Phantasie erkennt man hier einen Teil der 3. bin. Formel!

   - b²  = (a-b) (a+b)

Zu diesem Zweck müsste man in t(x) den Teil      so umformen, dass dort das Quadrat einer noch unbekannten Zahl steht, die in der Formel mit b bezeichnet wird!

Die beiden Summanden      und   müssen deshalb zuerst zu einem Summanden zusammengefasst werden, der ein negatives Vorzeichen haben muss.  Deswegen klammern wir -1 aus beiden Summanden aus:

    = (– 1)

Nun quadrieren wir den Bruch =  unter Verwendung der Potenzgesetze: 

= (– 1)  =  (– 1)

und  addieren (subtrahieren) die beiden Brüche in der Klammer nach den Regeln der Bruchrechnung : Hauptnenner bilden und Zähler addieren (subtrahieren)

=  (– 1)  = (– 1) = (– 1)

Nach dieser Umformung sieht der Term t(x) so aus

Fast schon wie die 3. binomische Formel! Wenn doch nur statt b das Quadrat von b stünde! Auch hier bietet die Mathematik eine elegante Lösung an! Es ist bekanntlich a = für a>0! Genau diese Regel hilft uns nun weiter und es wird

Damit ist nun die Struktur der 3. binomischen Formel erreicht und sie kann angewendet werden:

Ohne die symbolischen a  und  b hat t(x) die Form

Damit ist das Ziel erreicht, den Term T(x) = ax² +bx +c in ein Produkt aus Linearfaktor zu zerlegen:

eine gar nicht mal so komplizierte Form!

Hier noch einmal die Zusammenfassung aller Schritte

Setzt man für  = p  und für =q wie es oben schon getan wurde, dann hat der Term

T(x) = a(x²  +   x  + )  die Form

Sucht man nun nach einer Zahl x, so dass T(x) = 0 wird, so geht der Term  T(x) = ax² + bx + c       in

die quadratische Gleichung    0 = ax² + bx + c   über und man erhält aus 

die Lösung

 

Mit dem bekannten Satz: Hat ein Produkt den Wert 0, so ist mindestens einer seiner Faktoren Null, erhält man die Gleichungen: 

1.   (2ax + b)  = 0 

2.  (2ax + b) +  = 0

und daraus die Lösungen

1.       x1 =

2.       x2 =     (Diese Darstellung heißt a-b-c-Formel oder auch Mitternachtsformel)

 

Man sieht auch sofort, dass der Radikand b² - 4ac der Wurzel die Lösungen bestimmt. Man nennt b²- 4ac auch Diskriminante.

Ist b² - 4ac>0 dann hat die Gleichung ax² + bx + c=0 zwei unterschiedliche Lösungen.

 

Textfeld:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ist b² - 4ac= 0 dann hat die Gleichung ax² + bx + c = 0 genau eine Lösung, weil in diesem Falle die Diskriminante den Wert Null hat und . Die Lösungen sind x1 = x2 = .

Ist b² - 4ac< 0 dann hat die Gleichung ax² + bx + c = 0 keine reelle Lösung, weil es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat negativ ist. 

Die Lösungen x1 und x2 sind nur mit Hilfe der komplexen Zahlen darstellbar. 

Die quadratische Gleichung 0 = ax² + bx + c  kann auch auf beiden Seiten  mit a geteilt werden:

0 = ax² + bx + c   │:a

Man beachte: 

0:a = 0 und auf der rechten Seite ist eine Summe zu teilen, d.h

jeder Summand muss mit a geteilt werden 

0 = x²  +   x  +  setzt man für = p und für =q so erhält die quadratische Gleichung die Form

0 = x² + px + q    quadratische Ergänzung einfügen

0 = x² + px +  +q │mit der bin. Formel zusammenfassen zu

0 =    +q │ +q fasst man zusammen zu 

0 =       │aus wird

0 =    │ nun wird mit Hilfe der 3. bin Formel

0 =

 

Und wieder mit dem bekannten Satz: Hat ein Produkt den Wert 0, so ist mindestens einer seiner Faktoren Null, erhält man die Gleichungen:

 

1.     0=

2.     0=

 

und aufgelöst nach x

 

x1 =  und

      x2 =  oder nach teilweisem Wurzelziehen

 

x1 =  und

     x2 =    allgemein bekannt unter dem Namen p-q-Formel.

 

 

Textfeld:      Die p-q-Formel ist die Lösung der quadratischen Gleichung:       x² + px + q = 0 
     Die a-b-c-Formel ist die Lösung der quadratischen Gleichung:   ax² + bx + c = 0 
     Die quadratische Ergänzung ist ein Hilfsmittel, um die Lösung der quadratischen Gleichung zu finden.

 

 

 

 

Wozu nun dieser ganzen Aufwand? Wer mit Ausnahme von armen geplagten Schülern und betroffenen Eltern braucht so etwas?

Zunächst ist eine sehr schöne Anwendung der vielgehassten binomischen Formeln und anderer mathematischer Gesetze. Doch was nützt mathematische Schönheit oder mathematische Kunst, wenn sie (wie Kunst oder Musik) nur zum Staunen da ist?

In der Schulmathematik ist diese Umformung so unverzichtbar wie der Satz des Pythagoras oder die triviale Einsicht, dass jedes Produkt, in dem ein Faktor den Wert Null hat, selbst den Wert Null hat.    

Eine Anwendung habe ich Ihnen oben genannt: Das Lösen einer quadratischen Gleichung: ax² + bx + c = 0 und für Zahlenfetischisten ein Zahlenbeispiel:  0,5x² - 6x = 9.

Lieber Leser dieser Seite, sofern Sie nicht Lehrer, Schüler oder Mathematikdozent sind, sondern mit beiden Beinen im realen Leben stehen, nennen Sie Beispiele aus Ihrem beruflichen Alltag, bei denen das hier beschriebene Problem Anwendung findet. Eines kann ich selbst liefern:

 

Textfeld: Wie hoch muss der Prozentsatz einer jährlichen Preissteigerung sein, wenn der Preis eines Produktes in 2 Jahren um 8% größer sein soll? 4% ist auf jeden Fall falsch, denn dann ist der Preis um 8,16% höher, was bei großen Summen schon beachtlich sein kann. Der richtige Ansatz wäre (1+p)² = 1,08. Doch selbst dieses Problem wird in der Praxis nicht mit einer quadratischen Gleichung gelöst, auch wenn die Genauigkeit geringer ist. Hier liefert der Ansatz  =1,08 eine Näherung mit p= 3,846% aufgerundet p = 3,9%, gegenüber der Lösung der quadratischen Gleichung mit p = 3,92305 gerundet p = 3,9%.
(Diesen Lösungsansatz erhielt ich von Roberts Mutter, Angestellte in der Exportabteilung einer Firma, die mit diesem Ansatz eine berufliche Aufgabenstellung zu lösen hatte.)
Der prozentuale Fehler bei p=4% und bei p=3,846% bezogen auf die tatsächliche Lösung ist mit 1,96% in beiden Fällen fast gleich!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Helfen Sie also bitte mit, Beispiele zu geben, in denen das Lösen einer quadratischen Gleichung im beruflichen – nicht schulischen Alltag – wenigstens einmal im Leben vorkommt. Lehrer- und Elterngenerationen werden Ihnen diesen Motivationsschub danken!  

Übungsaufgabe mit Lösung

3x² + 6x  - 2              = 0 │* 1/3

  x² + 2x – 2/3           = 0 │ qE  1²- 1

  x² + 2x +1² - 1 - 2/3= 0 │ 1. bin Formel x²+2x+1² = (x+1)²

 (x+1)² - 1-2/3           = 0 │  - 1 -2/3 = -5/3 = -

 (x+1)² -  = 0  │3. bin. Formel

 (x+1 -) (x+1 +)=0

  x+1 - =0 ▬► x1= -1 +

(x+1 +)=0 ▬► x2= -1 -

__________________________________________________________________

Oder a=3 b=6 und c=-2  und mit Lösungsformel:

1.       x = ▬► x1=x1=x1=

2.       x =   ▬► x2=  x2=x1=

oder auch

3x² + 6x  - 2              = 0 │* 1/3

  x² + 2x – 2/3           =  0 │ p,q Formel  p= 2 und q = -2/3

x1 =  oder x2 =

x1 = -1 +  oder x2 = -1 - 

x1 = -1 +  oder  x2= -1 - 

 

Alle Wege haben ihre Vor- und Nachteile. Man gewinnt nichts, wenn man nur einen Weg als richtig zulässt. Ich persönlich ziehe die erste Variante vor, weil dieser Weg den Schüler immer wieder zwingt, an die binomischen Formeln zu denken und sie richtig anzuwenden. Viel wichtiger noch ist, dass selten eine Lösung vergessen wird! Der Rechenaufwand ist bei allen Wegen gleich! Bei komplizierten Ausdrücken oder wenn gar in der Lösung noch eine Variable enthalten ist, dann ist der erste Weg einsichtiger und zwingender!

Ansonsten halte es jeder wie er will, und wie er am besten und ohne Fehler klar kommt!

Das Ende jeder Kreativität ist der Schematismus!

 

 

 

 

 

 

 
 


 

 

 

 

 

 

                                                                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                           

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