Binomische
Formeln
Herleitung
1. binomische Formel
(a+b)² = a² + 2ab +b²
Es ist (a + b)² = (a + b)●(a + b) │ Klammer ausmultiplizieren :
Also multipliziere a (1. Klammer) mit a (2. Klammer)
a●a = a² (Potenzschreibweise)
nun multipliziere a (1. Klammer) mit b (2. Klammer)
a●b = ab
und b (1. Klammer) mit a (2. Klammer)
b●a = ba = ab (Kommutativgesetz)
sowie b (1. Klammer) mit b (2. Klammer)
b●b= b²
und addiere die entstandenen >Produkte
= a² + ab+ ba + b² │ weil ba = ab wegen des Kommutativgesetzes (KG)
= a² +ab +ab + b² │ weil ab + ab = 2ab
= a² + 2ab + b² │ das gewünschte Ergebnis
Auf gleiche Weise erhält man die
2.
binomische Formel
(a – b )² = a² – 2ab +b²
Bei der Herleitung muss man beachten, dass die Differenz a – b gleich der Summe a + (–b) ist.
Ähnliches gilt für die
3. binomische Formel:
(a+b)(a – b
) = a² – b²
Auch hier ist die Differenz a – b gleich der Summe a + (–b). Somit erhält man
(a+b) (a + (–b)) = a●a + a●(–b) +b●a + b● (–b) │ nach der Regel für das Ausmultiplizieren.
↑____↑ = a●a
↑________↑ = a●(–b) = –ab, weil –b = (–1)●b gilt a● (– 1)●b = (– 1)ab = – ab ( AG, KG)
↑__↑ = b●a = a●b = ab (KG)
↑______↑ = b●(–b)
Zusammenfassung
1. (a + b) ● (a + b) = (a + b)² = a² + 2ab +b²
2. (a – b) ● (a – b) = (a – b)² = a² – 2ab +b²
3. (a + b) ● (a – b) = a² – b²
-----------------------------------------------------------------------
Es stellt sich die Frage: Was ist mit der Summe: a² + b² ?
Lässt sich die Summe a² + b² in ein Produkt aus zwei Faktoren zerlegen?
Sehr beliebt ist die falsche Umformung a² + b² = (a+b)²
(Die Summe zweier Quadrate ist nicht das Quadrat der Summe)
Beispiel : 3² + 4² = 9 + 16 = 25
aber : (3+4)² = 7² = 49
Ein Fehler wird auch durch häufiges Wiederholen nicht besser!
Aus diesem Grund solltest Du die Regel
a² + b² besitzt keine Produktdarstellung zusammen mit den drei binomischen Formeln lernen.
Zusammenfassung
1. (a + b) ● (a + b) = (a + b)² = a² + 2ab +b²
2. (a – b) ● (a – b) = (a – b)² = a² – 2ab +b²
3. (a + b) ● (a – b) = a² – b²
4. a² + b² hat keine reelle Produktdarstellung
(lässt sich im Reellen nicht in ein Produkt aus Summen oder Differenzen zerlegen).