Binomische Formeln

Herleitung

 

1. binomische Formel

     (a+b)² = a² + 2ab +b²  

    

     Es ist  (a + b)²    = (a + b)●(a + b)       Klammer ausmultiplizieren :

                                                                        Also multipliziere a (1. Klammer) mit a (2. Klammer)

                                                                        a●a = a² (Potenzschreibweise)

                                                                        nun multipliziere a (1. Klammer) mit b (2. Klammer)

                                                                        a●b = ab

                                                                        und b (1. Klammer) mit a (2. Klammer)

                                                                        b●a  = ba = ab  (Kommutativgesetz)

                                                                        sowie b (1. Klammer) mit b (2. Klammer)

                                                                        b●b= b²

                                                                        und addiere die entstandenen >Produkte

                                 = a² + ab+ ba + b²    weil ba = ab wegen des Kommutativgesetzes  (KG)

 

                                 = a² +ab +ab + b²     weil ab + ab = 2ab

        

                                 =  a² + 2ab + b²         das gewünschte Ergebnis

 

Auf gleiche Weise erhält man  die

2. binomische Formel

     (a – b )² = a² – 2ab +b²  

    Bei der Herleitung muss man beachten, dass die Differenz a – b  gleich der Summe a + (–b)  ist.

 

Ähnliches gilt für die

 3. binomische Formel:

(a+b)(a – b ) = a² – 

Auch hier ist die Differenz a – b gleich der Summe a + (–b).  Somit erhält man

(a+b) (a + (–b))       = a●a + a●(–b) +b●a + b● (–b) │ nach der Regel für das Ausmultiplizieren.

 ↑____↑                    = a●a

 ↑________↑            = a●(–b) = –ab, weil –b = (–1)●b  gilt a● (– 1)●b = (– 1)ab = – ab ( AG, KG)

      ↑__↑                   = b●a     =  a●b  =  ab   (KG)

      ↑______↑           = b●(–b)                       

 

 

Zusammenfassung

1.     (a + b)  ● (a + b)      = (a + b)²  = a² + 2ab +b²  

2.     (a – b)  ● (a – b)       = (a – b)²   = a² –  2ab +b²  

3.     (a + b)  ● (a – b)       =             –      

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Es stellt sich die Frage: Was ist mit der Summe:    a² + b²     ?

Lässt sich die Summe  a² + b² in ein Produkt aus zwei Faktoren zerlegen?

Sehr beliebt ist die falsche Umformung  a² + b² = (a+b)²

(Die Summe zweier Quadrate ist nicht das Quadrat der Summe)

Beispiel : 3² + 4² = 9 + 16 = 25

 aber      : (3+4)² = 7²         = 49

Ein Fehler wird auch durch häufiges Wiederholen nicht besser!

Aus diesem Grund solltest Du die Regel

a² + b² besitzt keine Produktdarstellung zusammen mit den drei binomischen Formeln lernen.

 

Zusammenfassung

1.     (a + b)  ● (a + b)      = (a + b)²  = a² + 2ab +b²  

2.     (a – b)  ● (a – b)       = (a – b)²   = a² –  2ab +b²  

3.     (a + b)  ● (a – b)       =             –      

4.           +       hat keine reelle Produktdarstellung

                              (lässt sich im Reellen nicht in ein Produkt aus Summen oder Differenzen  zerlegen).

 

 

Aufgabenbeispiele

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